Андрей Евгеньевич Клычков родился 2 сентября 1979 года в городе Калининграде.
Окончил Калининградский юридический институт МВД РФ, Российский университет инноваций, Дипломатическую академию МИД РФ. В июле 2001 года вступил в Коммунистическую партию РФ. Работая в партии, прошел путь от помощника юрисконсульта до заместителя руководителя Юридической службы Центрального комитета КПРФ. На XV cъезде КПРФ избран членом Президиума Центрального комитета КПРФ.
Секретарь Московского городского комитета КПРФ.
Депутат Московской городской Думы пятого (2009-2014 гг.) созыва. Вновь избран депутатом Думы 14 сентября 2014 года.
Руководитель фракции КПРФ в Мосгордуме. Заместитель председателя комиссии по делам общественных объединений и религиозных организаций. Входит в состав комиссий:
по градостроительству, государственной собственности и землепользованию;
по законодательству, регламенту, правилам и процедурам;
объединенной комиссии Московской городской Думы и Московской областной Думы по координации законотворческой деятельности по городскому хозяйству и жилищной политике.
На XVII съезде КПРФ 27 мая 2017 года вновь избран членом ЦК КПРФ. На I Пленуме ЦК КПРФ, созванном после съезда, избран членом Президиума, секретарем ЦК КПРФ.
5 октября 2017 года указом Президента Российской Федерации Владимира Путина назначен временно исполняющим обязанности губернатора Орловской области.